\chapter{高微精要}
\section{消费理论}
\subsection{效用最大化问题}
\begin{align*}
	\max_{x\ge 0}\; u(x)\\
	s.t.\; p\cdot x\le w
\end{align*}
其中，$ x $是消费的数量，$ p $和$ w $是给定的消费品价格和消费者的财富或收入。该最优规划会得到一个$ x^*(p,w) $，它通常被称为\textbf{瓦尔拉斯(或市场，或普通，或马歇尔)需求函数。}

如果将此最优的$ x^*(p,w) $代入效用函数，即$ v(p,w):=u(x^*) $，它通常被称为\textbf{间接效用函数}。
\subsection{支出最小化问题}
\begin{align*}
	\min_{x\ge 0}\; p\cdot x\\
	s.t.\; u(x)\ge u
\end{align*}
效用最大化是既定财富下效用最大化问题，支出最小化是既定效用下最小财富水平问题，它们是一个对偶问题。对于给定的$ (p,u) $，该财富的最小水平为$ e(p,u) $，它通常被称为支出函数，且$ e(p,u)=p\cdot x^* $。此时得到的$ x^* $我们用$ h(p,u) $来表示，因为此时得到的最优消费品通常称为\textbf{希克斯(补偿性)需求函数}。
\section{生产理论}
\subsection{利润最大化}
\begin{align*}
	\max_{z\ge 0}\; p\cdot f(z)-w\cdot z
\end{align*}
其中，$ z $是生产要素，$ f(z) $是生产函数，$ p $是产品价格，$ w $是要素价格。该最优规划得到最优的$ z^* $代入生产函数后为$ f(z^*) $，这个通常称为\textbf{供给函数}，也可以写成$ y(p) $。而且很容易看到， 边际产品必定等于要素价格$ f'(z)=w/p $。
\subsection{成本最小化问题}
成本最小化是利润最大化的一个必要条件。\textbf{为什么要研究它，原因有二}：
\begin{itemize}
	\item 在技术上可以产生有用的结果和构造；
	\item 如果企业在产出品市场不是价格接受者，那么成本最小化问题产生的结果继续有效，利润最大化则不行了。
\end{itemize}
\begin{align*}
	\min_{z\ge 0}\; w\cdot z\\
	s.t.\; f(z)\ge q
\end{align*}
此即既定产量下的成本最小化问题。其中，$ q $是给定的产出，$ w $是给定的要素价格。此时的$ z^*(w,q) $是\textbf{带有附加条件的要素需求函数}。